LCM & HCF – Maths Study Material

மீ.சி.ம. & மீ.பெ.வ. / LCM & HCF

கணிதம் / Maths Study Material

வரையறை / Definition

மீ.பெ.வ. (HCF – Highest Common Factor)

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் பொதுவான வகுத்திகளில் மிகப்பெரிய வகுத்தி.

எ.கா. 15, 24-ன் மீ.பெ.வ. = 3 (15-ன் வகுத்திகள்: 1,3,5,15 | 24-ன் வகுத்திகள்: 1,3,8,12,24)

HCF = Highest Common Factor | GCD = Greatest Common Divisor | GCM = Greatest Common Measure

மீ.சி.ம. (LCM – Least Common Multiple)

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களின் மடங்குகளில் உள்ள பொதுவான மடங்குகளில் மிகச்சிறிய மடங்கு.

எ.கா. 12, 24-ன் மீ.சி.ம. = 24 (12-ன் மடங்கு: 12,24,36,48… | 24-ன் மடங்கு: 24,48,72…)

சூத்திரங்கள் / Formulas

1. இரு எண்களின் பெருக்கல் பலன் = மீ.சி.ம. × மீ.பெ.வ.
Product of two numbers = LCM × HCF

2. மற்றொரு எண் = (மீ.சி.ம. × மீ.பெ.வ.) ÷ கொடுக்கப்பட்ட எண்
Other number = (HCF × LCM) ÷ One number

3. பின்னங்களின் மீ.பெ.வ. = தொகுதி(மீ.பெ.வ.) ÷ பகுதி(மீ.சி.ம.)
HCF of fractions = HCF of Numerators ÷ LCM of Denominators

4. பின்னங்களின் மீ.சி.ம. = தொகுதி(மீ.சி.ம.) ÷ பகுதி(மீ.பெ.வ.)
LCM of fractions = LCM of Numerators ÷ HCF of Denominators

5. மீ.சி.ம. = மீ.பெ.வ. × விகிதங்களின் பெருக்கல் பலன்
LCM = HCF × Ratio (product of ratio numbers)

6. மீ.பெ.வ. = மீ.சி.ம. ÷ விகிதங்களின் பெருக்கல் பலன்
HCF = LCM ÷ Product of Ratio

நினைவில் வைக்க / Key Notes:
✦ HCF = பொது எண்கள் & குறைவான அடுக்குகள் (Power method: Common & Least power)
✦ LCM = அனைத்து எண்கள் & உயர்ந்த அடுக்குகள் (All numbers & Highest powers)
✦ LCM > HCF எப்போதும் (When numbers are same: LCM = HCF)
✦ மிகப்பெரிய / Greatest → HCF | மிகச்சிறிய / Smallest → LCM
✦ பகா எண்களின் மீ.பெ.வ. = 1 (HCF of prime numbers = 1)

கணக்கு உதாரணங்கள் / Worked Examples

1. 108, 288, 360-ன் மீ.பெ.வ. காண்க | Find HCF of 108, 288, 360

A) 36B) 18 C) 360D) 180

2 | 108, 288, 360 → 54, 144, 180
2 | 54, 144, 180 → 27, 72, 90
3 | 27, 72, 90 → 9, 24, 30
3 | 9, 24, 30 → 3, 8, 10
மீ.பெ.வ. = 2×2×3×3 = 36

✔ விடை: A) 36

2. 72, 108, 2100-ன் மீ.சி.ம. காண்க | Find LCM of 72, 108, 2100

A) 37400B) 37800 C) 36D) 54

2 | 72, 108, 2100 → 36, 54, 1050
2 | 36, 54, 1050 → 18, 27, 525
3 | 18, 27, 525 → 6, 9, 175
3 | 6, 9, 175 → 2, 3, 175
மீ.சி.ம. = 2×2×3×3×2×3×175 = 8×27×175 = 37800

✔ விடை: B) 37800

3. 16, 24, 36, 54-ன் மீ.சி.ம. காண்க | Find LCM of 16, 24, 36, 54

A) 432B) 532 C) 482D) 54

2 | 16, 24, 36, 54 → 8, 12, 18, 27
2 | 8, 12, 18, 27 → 4, 6, 9, 27
3 | 4, 6, 9, 27 → 4, 2, 3, 9
2 | 4, 2, 3, 9 → 2, 1, 3, 9
3 | 2, 1, 3, 9 → 2, 1, 1, 3
மீ.சி.ம. = 2×2×3×2×3×2×3 = 24×18 = 432

✔ விடை: A) 432

4. 36, 84-ன் GCD காண்க | Find GCD of 36, 84

A) 4B) 6 C) 12D) 18

2 | 36, 84 → 18, 42
2 | 18, 42 → 9, 21
3 | 9, 21 → 3, 7
மீ.பெ.வ. (GCD) = 2×2×3 = 12

✔ விடை: C) 12

5. 204, 1190, 1445-ன் மீ.பெ.வ. காண்க | Find HCF of 204, 1190, 1445

A) 17B) 18 C) 19D) 21

204 = 2²×3×17 | 1190 = 2×5×7×17 | 1445 = 5×17²
பொதுவான சிறிய அடுக்கு = 17
மீ.பெ.வ. = 17

✔ விடை: A) 17

6. 2923 மற்றும் 3239-ன் மீ.பெ.வ. காண்க | Find HCF of 2923 and 3239

A) 37B) 47 C) 73D) 79

79 | 2923, 3239 → 37, 41
(விடைகளை கவனித்து தேர்வு செய்தால் எளிமை)
மீ.பெ.வ. = 79

✔ விடை: D) 79

7. 24, 36, 40-ன் மீ.சி.ம. காண்க | Find LCM of 24, 36, 40

A) 120B) 240 C) 360D) 480

2 | 24, 36, 40 → 12, 18, 20
2 | 12, 18, 20 → 6, 9, 10
2 | 6, 9, 10 → 3, 9, 5
3 | 3, 9, 5 → 1, 3, 5
மீ.சி.ம. = 2×2×2×3×3×5 = 24×15 = 360

✔ விடை: C) 360

8. 144 மற்றும் 120-ன் மீ.பெ.வ. காண்க | Find HCF of 144 and 120

A) 12B) 15 C) 24D) 36

12 | 144, 120 → 12, 10
2 | 12, 10 → 6, 5
மீ.பெ.வ. = 12×2 = 24

✔ விடை: C) 24

9. Find HCF of 102, 170, 238

A) 36B) 34 C) 30D) 40

2 | 102, 170, 238 → 51, 85, 119 (factor 2 comes only 1 time)
2×17 = 34 → 2 comes 1 time ✔
மீ.பெ.வ. = 34

✔ விடை: B) 34

10. 513, 1134, 1215-ன் மீ.பெ.வ. காண்க | Find HCF of 513, 1134 and 1215

A) 18 (2×3×3)B) 27 (3×3×3) C) 31D) 17

3 | 513, 1134, 1215 → 171, 378, 405
3 | 171, 378, 405 → 57, 126, 135
3 | 57, 126, 135 → 19, 42, 45
மீ.பெ.வ. = 3×3×3 = 27

✔ விடை: B) 27

11. 90, 150, 225-ன் மீ.பெ.வ. | Highest common factor of 90, 150, 225

A) 15B) 30 C) 25D) 20

5 | 90, 150, 225 → 18, 30, 45
3 | 18, 30, 45 → 6, 10, 15 (one digit not common)
மீ.பெ.வ. = 5×3 = 15

✔ விடை: A) 15

இரு எண்கள் / Relationship Problems

15. இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் பலன் 32. மீ.பெ.வ. 4 எனில் மீ.சி.ம. காண்க | Product = 32, HCF = 4, Find LCM

Product = LCM × HCF
32 = LCM × 4
LCM = 32 ÷ 4 = 8

✔ விடை: 8

16. இரு எண்களின் பெருக்கல் 1320, மீ.பெ.வ. 6 எனில் மீ.சி.ம. காண்க | Product = 1320, HCF = 6, Find LCM

A) 220B) 1314 C) 1328D) 7920

1320 = மீ.சி.ம. × 6
மீ.சி.ம. = 1320 ÷ 6 = 220

✔ விடை: A) 220

17. LCM × HCF = 24. ஒரு எண் 6 எனில் மற்றொரு எண் | LCM × HCF = 24, one = 6, find other

A) 6B) 2 C) 4D) 8

6 × y = 24 → y = 24 ÷ 6 = 4

✔ விடை: C) 4

21. மீ.பெ.வ. = 11, மீ.சி.ம. = 693, ஒரு எண் 77. மற்றொரு எண் யாது? | HCF=11, LCM=693, one=77

A) 88B) 99 C) 48D) 69

மற்றொரு எண் = (LCM × HCF) ÷ ஒரு எண்
= (693 × 11) ÷ 77 = 693 ÷ 7 = 99

✔ விடை: B) 99

22. மீ.பெ.வ.=11, மீ.சி.ம.=7700, ஒரு எண் 275. மற்றொரு எண் | HCF=11, LCM=7700, one=275

A) 279B) 283 C) 308D) 318

y = (7700 × 11) ÷ 275 = 7700 ÷ 25 = 308

✔ விடை: C) 308

25. மீ.சி.ம.=72, மீ.பெ.வ.=6, ஒரு எண்=18, மற்றொரு எண்? | LCM=72, HCF=6, one=18

18 × x = 72 × 6
x = (72 × 6) ÷ 18 = 432 ÷ 18 = 24

✔ விடை: 24

27. 150, 225-ன் மீ.பெ.வ.=75 எனில் மீ.சி.ம.? | HCF of 150 & 225 = 75, Find LCM

A) 450B) 225 C) 400D) 325

150 × 225 = 75 × LCM
LCM = (150 × 225) ÷ 75 = 2 × 225 = 450

✔ விடை: A) 450

28. HCF=8, LCM=7040, ஒரு எண்=128. மற்றொரு எண்? | HCF=8, LCM=7040, one=128

A) 240B) 140 C) 440D) 250

128 × y = 7040 × 8
y = (7040 × 8) ÷ 128 = 7040 ÷ 16 = 440

✔ விடை: C) 440

விகிதம் சம்பந்தமான கணக்குகள் / Ratio-Based Problems

30. மூன்று எண்களின் விகிதம் 1:2:3, மீ.பெ.வ.=12. எண்களை காண்க | Ratio 1:2:3, HCF=12

x=12 (HCF=x)
எண்கள் = 12, 2(12), 3(12) = 12, 24, 36

✔ விடை: 12, 24, 36

34. விகிதம் 1:2, மீ.பெ.வ.=4 எனில் மீ.சி.ம.? | Ratio 1:2, HCF=4, Find LCM

LCM = HCF × (ratio product) = 4 × 1 × 2 = 8

✔ விடை: 8

35. விகிதம் 3:4, மீ.பெ.வ.=4 எனில் மீ.சி.ம.? | Ratio 3:4, HCF=4, Find LCM

A) 12B) 16 C) 24D) 48

LCM = 4 × 3 × 4 = 48

✔ விடை: D) 48

36. மூன்று எண்கள் 3:4:5 விகிதம், மீ.சி.ம.=2400. மீ.பெ.வ. காண்க | Ratio 3:4:5, LCM=2400

A) 40B) 80 C) 120D) 200

HCF = LCM ÷ (ratio product) = 2400 ÷ (3×4×5) = 2400 ÷ 60 = 40

✔ விடை: A) 40

38. விகிதம் 5:6, மீ.சி.ம.=480. மீ.பெ.வ. காண்க | Ratio 5:6, LCM=480, Find HCF

A) 20B) 16 C) 6D) 5

LCM = HCF × (5×6)
480 = HCF × 30
HCF = 480 ÷ 30 = 16

✔ விடை: B) 16

41. மீ.சி.ம.=48, விகிதம் 2:3 எனில் கூடுதல் காண்க | LCM=48, Ratio=2:3, Find sum

A) 28B) 32 C) 40D) 64

எண்கள் = LCM/b, LCM/a = 48/3, 48/2 = 16, 24
கூடுதல் = 16 + 24 = 40

✔ விடை: C) 40

பின்னங்கள் / Fractions LCM & HCF

69. 2/3, 5/9, 7/27-ன் மீ.சி.ம. காண்க | Find LCM of 2/3, 5/9, 7/27

LCM = LCM of Numerators ÷ HCF of Denominators
LCM of (2,5,7) = 2×5×7 = 70
HCF of (3,9,27) = 3
LCM = 70/3

✔ விடை: 70/3

72. 2/3, 4/9, 6/27-ன் மீ.பெ.வ. காண்க | Find HCF of 2/3, 4/9, 6/27

HCF = HCF of Numerators ÷ LCM of Denominators
HCF of (2,4,6) = 2
LCM of (3,9,27) = 27
HCF = 2/27

✔ விடை: 2/27

74. 1¼, 1⅔, 2½-ன் மீ.சி.ம. | LCM of 1¼, 1⅔, 2½

A) 2B) 3 C) 4D) 5

→ 5/4, 5/3, 5/2
LCM of numerators (5,5,5) = 5
HCF of denominators (4,3,2) = 1
LCM = 5/1 = 5

✔ விடை: D) 5

தசம எண்கள் / Decimal Numbers

80. 0.63, 1.05, 2.1-ன் மீ.பெ.வ. | Find HCF of 0.63, 1.05, 2.1

A) 0.21B) 2.1 C) 0.63D) 1.05

100 ஆல் பெருக்கி: 63, 105, 210
3 | 63, 105, 210 → 21, 35, 70
7 | 21, 35, 70 → 3, 5, 10
மீ.பெ.வ. = 3×7 = 21
÷100 → = 0.21

✔ விடை: A) 0.21

81. 0.63, 1.05, 2.1-ன் மீ.சி.ம. | Find LCM of 0.63, 1.05, 2.1

A) 0.63B) 6.3 C) 63D) 2.1

100 ஆல் பெருக்கி: 63, 105, 210
மீ.சி.ம. = 3×7×5×3×2 = 630
÷100 → = 6.3

✔ விடை: B) 6.3

82. 1.75, 5.6, 7-ன் மீ.பெ.வ. | Find HCF of 1.75, 5.6, 7

A) 00.7B) 0.7 C) 3.5D) 0.35

100 ஆல் பெருக்கி: 175, 560, 700
5 | 175, 560, 700 → 35, 112, 140
7 | 35, 112, 140 → 5, 16, 20
மீ.பெ.வ. = 5×7 = 35 → ÷100 = 0.35

✔ விடை: D) 0.35

83. 3, 2.7, 0.09-ன் மீ.சி.ம. | Find LCM of 3, 2.7 and 0.09

A) 2.7B) 0.27 C) 0.027D) 27

100 ஆல் பெருக்கி: 300, 270, 9
மீ.சி.ம. = 3×10×3×10×3 = 2700
÷100 = 27

✔ விடை: D) 27

பரும சம்பந்தமான கணக்குகள் / Application Problems

84. 4மீ95செ.மீ, 9மீ, 16மீ65செ.மீ அளவுகளை அளக்ககூடிய மிகப்பெரிய நீளம் | Largest measure for 4m95cm, 9m, 16m65cm

A) 36செ.மீB) 40செ.மீ C) 45செ.மீD) 54செ.மீ

495செ.மீ, 900செ.மீ, 1665செ.மீ-ன் மீ.பெ.வ.
5 | 495, 900, 1665 → 99, 180, 333
3 | 99, 180, 333 → 33, 60, 111
3 | 33, 60, 111 → 11, 20, 37
மீ.பெ.வ. = 5×3×3 = 45 செ.மீ

✔ விடை: C) 45 செ.மீ

86. 12, 15, 20 மற்றும் 27 ஆல் மீதியின்றி வகுபடக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் | Smallest divisible by 12, 15, 20, 27

A) 450B) 420 C) 540D) 560

3 | 12, 15, 20, 27 → 4, 5, 20, 9
4 | 4, 5, 20, 9 → 1, 5, 5, 9
5 | 1, 5, 5, 9 → 1, 1, 1, 9
மீ.சி.ம. = 3×4×5×9 = 60×9 = 540

✔ விடை: C) 540

87. 6,7,8,9,12 ஆல் வகுக்கும்போது மீதி 1 வரக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் | Smallest number: remainder 1 when divided by 6,7,8,9,12

A) 504B) 505 C) 503D) 502

தேவையான எண் = LCM(6,7,8,9,12) + 1
LCM = 504
தேவையான எண் = 504 + 1 = 505

✔ விடை: B) 505

88. 12,15,18,27 ஆல் மீதியின்றி வகுபடக்கூடிய மிகப்பெரிய நான்கு இலக்க எண் | Largest 4-digit number divisible by 12,15,18,27

A) 9999B) 9720 C) 9820D) 540

மீ.சி.ம.(12,15,18,27) = 540
9999 ÷ 540 → மீதி = 279
தேவையான எண் = 9999 – 279 = 9720

✔ விடை: B) 9720

89. 62, 132, 237 ஐ ஒரு மிகப்பெரிய எண்ணால் வகுக்கும்போது ஒரே மீதி | Same remainder when dividing 62, 132, 237

A) 35B) 36 C) 37D) 38

தேவையான எண் = HCF(132-62, 237-132, 237-62)
= HCF(70, 105, 175)
5 | 70, 105, 175 → 14, 21, 35
7 | 14, 21, 35 → 2, 3, 5
மீ.பெ.வ. = 5×7 = 35

✔ விடை: A) 35

90. 16, 24, 36, 54 ஆல் மீதியின்றி வகுபடக்கூடிய மிகச்சிறிய 5 இலக்க எண் | Smallest 5-digit divisible by 16,24,36,54

A) 10,000B) 43200 C) 10368D) —

மீ.சி.ம.(16,24,36,54) = 432
10000 ÷ 432 → மீதி = 64
தேவையான எண் = 10000 + (432-64) = 10368

✔ விடை: C) 10368

91. 20,25,35,40 ஆல் வகுக்கும்போது மீதி முறையே 14,19,29,34 வரக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் | Divisors 20,25,35,40; remainders 14,19,29,34

A) 1394B) 1400 C) 1406D) 1395

(20-14)=(25-19)=(35-29)=(40-34) = 6 (constant difference)
LCM(20,25,35,40) = 1400
தேவையான எண் = 1400 – 6 = 1394

✔ விடை: A) 1394

93. மூன்று சாலை சிக்னல்கள் 48, 72, 108 விநாடிக்கு மாறுகின்றன. 8:20:00 மணிக்கு மாறினால், மீண்டும் ஒரே நேரத்தில் எப்போது? | Signals at 48, 72, 108 sec; change together at 8:20:00

A) 8:20:12B) 8:27:12 C) 8:12:20D) 8:27:00

LCM(48,72,108) = 432 விநாடி = 7 நிமிடம் 12 விநாடி
8:20:00 + 7:12 = 8:27:12 மணி

✔ விடை: B) 8:27:12

101. ஆறு மணிகள் 2,4,6,8,10,12 விநாடி இடைவெளியில் ஒலிக்கின்றன. 30 நிமிடத்தில் எத்தனை முறை? | Six bells ring at 2,4,6,8,10,12 sec; how many times in 30 min?

A) 4B) 10 C) 15D) 16

LCM(2,4,6,8,10,12) = 120 விநாடி = 2 நிமிடம்
30 நிமிடத்தில் = 30÷2 = 15 முறை + 1 (ஏற்கனவே ஒலித்த முறை)
மொத்தம் = 16 முறை

✔ விடை: D) 16

Co-Prime / சார்பகா எண்கள்

இரண்டு எண்களின் மீ.பெ.வ. = 1 எனில் அவை Co-prime (சார்பகா எண்கள்) எனப்படும்.

If HCF of two numbers = 1, they are called Co-prime (Relative Prime) numbers.

Co-prime எண்களின் மீ.சி.ம. = அந்த எண்களின் பெருக்கல் பலன்.

94. கீழ்கண்டவற்றுள் Co-prime எது? | Which is a co-prime pair?

A) (16, 62)B) (18, 25) C) (21, 35)D) (23, 92)

18, 25-ன் மீ.பெ.வ. = 1 → Co-prime ✔

✔ விடை: B) (18, 25)

97. இரண்டு Co-prime எண்களின் பெருக்கல் பலன் 117. மீ.சி.ம. காண்க | Product of two co-primes = 117, find LCM

Co-prime எண்களின் மீ.பெ.வ. = 1
117 = 1 × மீ.சி.ம.
மீ.சி.ம. = 117

✔ விடை: B) 117

தர்க்க கணக்குகள் / Logic-Based Questions

110. 2,3,4,5 ஆல் மீதியின்றி வகுபடக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் | Smallest number divisible by 2,3,4,5

A) 50B) 60 C) 80D) 68

★ சிறிய எண்கள் → பெரிய எண்கள் ⇒ LCM காண்க
LCM(2,3,4,5) = 2×3×2×5 = 60

✔ விடை: B) 60

111. எந்த மிகச்சிறிய எண்ணுடன் 1 கூட்ட அவ்வெண் 2,3,4,5 ஆல் வகுபடும்? | Least number when added with 1 is divisible by 2,3,4,5

A) 59B) 60 C) 61D) 66

LCM(2,3,4,5) = 60
60 என்பது 1 கூட்டிய பின் வந்த எண் → ஏற்கனவே உள்ள எண் = 60 – 1 = 59

✔ விடை: A) 59

112. எந்த ஒரு மிகச்சிறிய எண்ணிலிருந்து 1 கழிக்க அவ்வெண் 2,3,4,5 ஆல் வகுபடும்? | Least number when diminished by 1 is divisible by 2,3,4,5

A) 59B) 60 C) 61D) 66

LCM = 60 → 60 என்பது 1 கழித்தபின் வந்த எண் → அவ்வெண் = 60 + 1 = 61

✔ விடை: C) 61

113. 2,3,4,5 ஆல் வகுபடக்கூடிய மிகப்பெரிய 4 இலக்க எண் | Largest 4-digit number divisible by 2,3,4,5

LCM = 60 | மிகப்பெரிய 4 இலக்க எண் = 9999
9999 ÷ 60 → மீதி = 39
தேவையான எண் = 9999 – 39 = 9960

✔ விடை: 9960

114. 2,3,4,5 ஆல் வகுபடக்கூடிய மிகச்சிறிய 5 இலக்க எண் | Smallest 5-digit number divisible by 2,3,4,5

LCM = 60 | மிகச்சிறிய 5 இலக்க எண் = 10000
10000 ÷ 60 → மீதி = 40
தேவையான எண் = 10000 + (60-40) = 10020

✔ விடை: 10020

120. மூன்று எண்களின் மீ.சி.ம. = 120. கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது மீ.பெ.வ. ஆக இருக்க இயலாது? | LCM=120, which cannot be HCF?

A) 8B) 12 C) 24D) 35

மீ.சி.ம. என்பது மீ.பெ.வ.-ன் மடங்கு ஆக இருக்க வேண்டும்.
120 ÷ 35 = 3.4 (மடங்கு அல்ல → தவறு)
எனவே மீ.பெ.வ. 35 ஆக இருக்க இயலாது.

✔ விடை: D) 35

121. மீ.பெ.வ.=12. கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது மீ.சி.ம. ஆக இருக்க முடியாது? | HCF=12, which cannot be LCM?

A) 72B) 36 C) 48D) 50

50 ÷ 12 = 4.1 (மடங்கு அல்ல → தவறு)
மீ.சி.ம. 50 ஆக இருக்க முடியாது.

✔ விடை: D) 50

அட்டவணை சுருக்கம் / Quick Reference Table

நிலை / Situation	செய்ய வேண்டியது / Method
சிறிய எண்கள் → பெரிய எண்	மீ.சி.ம. (LCM) காண்க
பெரிய எண்கள் → சிறிய எண்	மீ.பெ.வ. (HCF) காண்க
ஒரே மீதி (same remainder)	வித்தியாசங்களின் மீ.பெ.வ.
மீதி சூன்யம் (no remainder)	மீ.சி.ம. காண்க
ஒரே நிலையான வித்தியாசம் (constant diff)	மீ.சி.ம. − வித்தியாசம்
1 கூட்ட (add 1)	மீ.சி.ம. − 1
1 கழிக்க (subtract 1)	மீ.சி.ம. + 1

Mathematics Study Material | LCM & HCF